Prépa · filières scientifiques · 1re et 2e année
Le programme officiel,
démontré ligne à ligne.
Les programmes de mathématiques et d’informatique des classes préparatoires scientifiques, chapitre par chapitre dans l’ordre de l’arrêté du 5 janvier 2021. Chaque module porte sa fiche de cours avec les démonstrations écrites en entier, un cours qu’on peut exécuter dans la page, deux TD corrigés, une banque d’exercices auto-corrigés, des défis Python et un quiz. Ce qui change ici par rapport au lycée : on ne demande plus de calculer juste, on demande de démontrer.
Prérequis : une terminale scientifique, spécialité mathématiques. Ce niveau se construit chapitre par chapitre ; les modules déjà en ligne sont ci-dessous. Pour l’informatique et les mathématiques de l’informatique, voir aussi Licence (« Coder comme un professionnel » et « Mathématiques de l’informatique »).
Partie A — Première année : mathématiques
MPSI, PCSI, PTSI et MP2I partagent l’essentiel de ce programme. Chaque module : fiche de cours avec les démonstrations, cours illustré et exécutable, deux TD corrigés, banque d’exercices auto-corrigés, défis Python, quiz.
- MATHS 01Raisonnement et vocabulaire ensemblisteLogique et quantificateurs, négation, contraposée, absurde, récurrence, analyse-synthèse ; ensembles, parties, produit cartésien ; applications, injections, surjections, bijections ; relations d’équivalence et d’ordre.
- MATHS 02Calcul algébrique et trigonométrieSommes et produits indexés, changement d’indice, télescopage, sommes usuelles ; coefficients binomiaux, triangle de Pascal, formule du binôme ; factorisation de aⁿ − bⁿ ; systèmes linéaires et pivot de Gauss ; cercle trigonométrique, formules d’addition, équations et linéarisation.
- MATHS 03Nombres complexesForme algébrique, conjugué, module et inégalité triangulaire ; forme trigonométrique et exponentielle, argument ; Moivre, Euler, linéarisation, technique de l’angle moitié ; racines n-ièmes de l’unité et d’un complexe ; second degré à coefficients complexes ; rotations, similitudes et ensembles de points.
- MATHS 04Fonctions usuelles et dérivationDomaines, parité, monotonie ; exponentielle, logarithme, puissances ; croissances comparées ; arcsin, arccos, arctan et leurs dérivées ; fonctions hyperboliques ; dérivation des composées et des réciproques ; les inégalités classiques, démontrées.
- MATHS 05Primitives et équations différentiellesPrimitives usuelles, formes u’/u et u’uⁿ ; intégrale sur un segment, Chasles, linéarité ; intégration par parties, changement de variable ; équations linéaires du premier ordre et variation de la constante ; second ordre à coefficients constants, équation caractéristique, résonance ; problème de Cauchy.
- MATHS 06Nombres réels et suites numériquesPartie entière, densité de ℚ, borne supérieure et sa caractérisation ; convergence écrite avec les ε et sa négation ; opérations, comparaison, gendarmes, limite monotone ; suites adjacentes et segments emboîtés ; suites extraites et Bolzano-Weierstrass ; suites arithmético-géométriques et récurrences linéaires d’ordre 2.
- MATHS 07Limites et continuitéLimite en un point et en l’infini, caractérisation séquentielle ; lever une indétermination ; prolongement par continuité ; théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes, théorème de la bijection ; continuité uniforme et théorème de Heine ; ce qui tombe quand le segment s’ouvre.
- MATHS 08Dérivabilité et convexitéDérivabilité en un point, continue sans être dérivable ; extremum et point critique ; théorème de Rolle, égalité et inégalité des accroissements finis, théorème de la limite de la dérivée ; dérivées successives et formule de Leibniz ; convexité, cordes et tangentes, inégalités démontrées sans étude de fonction.
- MATHS 09Arithmétique dans ℤDivision euclidienne et son unicité ; PGCD, PPCM, algorithme d’Euclide et sa version étendue ; théorèmes de Bézout et de Gauss ; équations diophantiennes et TOUTES leurs solutions ; nombres premiers, décomposition, infinité ; congruences, ℤ/nℤ, petit théorème de Fermat et RSA en miniature.
- MATHS 10Structures algébriques usuellesLois internes, associativité, neutre, symétrique ; groupes, sous-groupes et leur caractérisation, sous-groupes de ℤ ; morphismes, noyau, image, et l’injectivité lue sur le noyau ; anneaux, intégrité, diviseurs de zéro, corps ; inversibles de ℤ/nℤ ; formule du binôme et l’hypothèse de commutation.
- MATHS 11Calcul matriciel et systèmes linéairesMatrices, produit non commutatif, transposée ; inversibles et groupe GL(n) ; triangulaires, diagonales, symétriques, antisymétriques ; trace et l’identité tr(AB) = tr(BA) ; pivot de Gauss pour résoudre, calculer un rang et inverser ; discussion selon un paramètre ; puissances de matrices.
- MATHS 12Polynômes et fractions rationnellesDegré, intégrité de 𝕂[X] ; division euclidienne ; racines, multiplicité et dérivées, formule de Taylor pour les polynômes ; PGCD et Bézout ; irréductibles, théorème de d’Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X] ; relations coefficients-racines ; fractions rationnelles et éléments simples.
- MATHS 13Analyse asymptotiqueNégligeabilité, domination, équivalence et les trois opérations INTERDITES ; développements limités, unicité, formule de Taylor-Young ; les huit développements usuels, validés numériquement ; somme, produit, composition, intégration ; limites sans astuce ; tangente et position ; asymptote oblique et côté.
- MATHS 14Espaces vectoriels et applications linéairesSous-espaces et leur caractérisation en trois vérifications ; sommes, sommes directes, supplémentaires ; familles libres, génératrices, bases ; dimension, base incomplète, formule de Grassmann ; noyau, image, rang ; théorème du rang et ses conséquences ; projecteurs, symétries ; ce qui tombe en dimension infinie.
- MATHS 15Matrices et applications linéairesMatrice d’une application dans des bases, images en colonnes et pourquoi ; Y = AX ; composition et produit ; matrices de passage, formule A’ = P⁻¹AP ; matrices équivalentes et rang, matrices semblables, trace et déterminant comme invariants ; puissances par changement de base.
- MATHS 16Groupe symétrique et déterminantsPermutations, cycles, transpositions, signature par trois chemins ; formes n-linéaires alternées ; déterminant par Leibniz, par développement, par le pivot ; opérations élémentaires et leur effet ; det(AB), det(λA), det de la transposée ; Vandermonde ; formules de Cramer et leur coût.
- MATHS 17Intégration sur un segmentFonctions en escalier, construction de l’intégrale par encadrement ; linéarité, Chasles, positivité stricte ; inégalité de la moyenne, triangulaire, de Cauchy-Schwarz ; sommes de Riemann ; théorème fondamental de l’analyse ; Taylor avec reste intégral et Taylor-Lagrange ; intégration par parties et changement de variable.
- MATHS 18DénombrementLes trois questions à poser avant toute formule ; listes, arrangements, combinaisons, permutations ; applications, injections, bijections entre ensembles finis ; formule du crible ; identités combinatoires démontrées par double comptage ; principe des tiroirs et Erdős-Szekeres.
- MATHS 19Probabilités sur un univers finiÉquiprobabilité et dénombrement ; probabilités conditionnelles, probabilités totales, formule de Bayes et le piège des maladies rares ; indépendance, et pourquoi ce n’est pas l’incompatibilité ; variables aléatoires, lois uniforme, de Bernoulli, binomiale ; espérance linéaire toujours, variance additive seulement si indépendance ; Markov et Bienaymé-Tchebychev.
- MATHS 20Espaces préhilbertiens réelsProduit scalaire et norme euclidienne ; Cauchy-Schwarz et son cas d’égalité ; orthogonalité, Pythagore ; bases orthonormées et coordonnées ; procédé de Gram-Schmidt ; supplémentaire orthogonal ; projection orthogonale, distance à un sous-espace, et les moindres carrés vus comme une projection.
- MATHS 21Procédés sommatoires discretsSommes doubles et interversion, et le contre-exemple qui la fait tomber à l’infini ; séries, condition nécessaire, séries géométriques et de Riemann ; comparaison série-intégrale, équivalent de la somme partielle et majoration du reste ; convergence absolue ; théorème de réarrangement de Riemann.
- MATHS 22Fonctions de deux variablesDérivées partielles, et pourquoi leur existence ne donne pas la continuité ; classe C¹ ; gradient, plus forte pente, orthogonalité aux lignes de niveau ; plan tangent ; règle de la chaîne ; théorème de Schwarz ; points critiques, extremums, et le point selle qui n’existe pas en dimension 1.
Partie B — Première année : informatique pour tous
Le tronc commun d’informatique, commun à toutes les filières scientifiques.
- INFO 01Le langage PythonTypes de base et représentation des nombres en machine ; pourquoi 0,1 + 0,2 ne vaut pas 0,3 ; affectation, alias, mutabilité ; instructions conditionnelles et boucles ; fonctions, paramètres, valeur de retour, portée ; les pièges classiques, dont l’argument par défaut mutable.
- INFO 02Listes, dictionnaires, chaînesIndexation, tranches, compréhensions ; dictionnaires et ensembles, recherche en temps constant ; chaînes et immuabilité ; matrices comme listes de listes et le piège de l’alias ; le tableau des coûts, qui décide du choix d’une structure.
- INFO 03Algorithmique et complexitéCompter les opérations, notation O, et ce que chaque classe coûte vraiment en temps ; recherche séquentielle et dichotomique ; tris par sélection, par insertion, fusion ; diviser pour régner ; programmation dynamique et mémoïsation ; tous les comptes mesurés sur des algorithmes instrumentés.
- INFO 04Preuve de programmesSpécification, précondition, postcondition ; terminaison par variant ; correction par invariant de boucle et ses trois obligations ; correction partielle et totale ; preuve des algorithmes récursifs ; trouver le défaut d’un programme faux par l’invariant qui ne tient pas.
- INFO 05Bases de données et SQLModèle relationnel, clés primaires et étrangères, intégrité référentielle ; algèbre relationnelle et sa traduction en SQL ; SELECT, WHERE, ORDER BY, DISTINCT ; agrégats, GROUP BY, HAVING ; jointures et le produit cartésien qu’on veut éviter ; toutes les réponses calculées par un vrai moteur.
- INFO 06Calcul numériqueDichotomie et méthode de Newton ; rectangles, trapèzes, Simpson ; méthode d’Euler ; l’ORDRE d’une méthode, mesuré en divisant le pas par deux ; erreur de méthode contre erreur d’arrondi, et le pas optimal en dessous duquel le résultat se dégrade.
Partie C — Deuxième année : mathématiques
MP et MPI. Réduction, topologie, séries, intégration sur un intervalle quelconque, probabilités discrètes, calcul différentiel.
- MATHS 31Structures algébriques usuellesOrdre d’un élément, groupes cycliques, théorème de Lagrange et ses corollaires ; idéaux d’un anneau commutatif, et l’arithmétique traduite en inclusions ; anneaux ℤ/nℤ, théorème chinois, indicatrice d’Euler ; algèbres ; polynômes d’un endomorphisme et polynômes annulateurs.
- MATHS 32Réduction des endomorphismesValeurs et vecteurs propres, sous-espaces propres ; polynôme caractéristique et ses deux contrôles ; critère de diagonalisabilité par les dimensions ; annulateur scindé à racines simples ; trigonalisation ; théorème de Cayley-Hamilton ; puissances, suites récurrentes et systèmes différentiels.
- MATHS 33Endomorphismes d’un espace euclidienIsométries et matrices orthogonales, rotations et réflexions ; endomorphismes symétriques ; THÉORÈME SPECTRAL — toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée ; matrices positives et définies positives, et le lien avec les valeurs propres ; où ces matrices apparaissent en pratique.
- MATHS 34Topologie des espaces vectoriels normésNormes et normes équivalentes, les trois normes usuelles et leurs constantes ; ouverts, fermés, adhérence, intérieur ; caractérisation séquentielle ; compacité et ce qu’elle donne ; ce qui est propre à la dimension finie, avec les contre-exemples de dimension infinie.
- MATHS 35Séries numériques et vectoriellesConvergence d’une série, condition nécessaire et son insuffisance ; séries de référence, Riemann et géométrique ; comparaison, équivalents, d’Alembert ; convergence absolue et semi-convergence ; critère des séries alternées ; comparaison série-intégrale et la constante d’Euler ; produit de Cauchy.
- MATHS 36Suites et séries de fonctionsConvergence simple contre convergence uniforme, et pourquoi l’une ne suffit pas ; les quatre théorèmes de transfert — continuité, double limite, intégration, dérivation ; la convergence normale, celle qu’on cherche en pratique ; les trois contre-exemples qui délimitent tout le chapitre.
- MATHS 37Séries entièresRayon de convergence et lemme d’Abel ; ce qui se passe au bord du disque, où tout est possible ; dérivation et intégration terme à terme sans changer le rayon ; les six développements usuels ; l’exponentielle complexe et la formule d’Euler démontrée par la série.
- MATHS 38Fonctions vectorielles et arcs paramétrésDérivation coordonnée par coordonnée ; produit scalaire, produit vectoriel, norme ; l’ÉGALITÉ des accroissements finis tombe en dimension 2, l’inégalité survit ; arcs paramétrés, tangente, points stationnaires ; longueur d’arc, cycloïde et astroïde.
- MATHS 39Intégration sur un intervalle quelconqueIntégrales impropres et intégrabilité ; intégrales de référence en 0 et en l’infini, et leur critère renversé ; théorème de convergence dominée, ses trois hypothèses et le contre-exemple qui les justifie ; intégration terme à terme ; intégrales à paramètre et la fonction Gamma.
- MATHS 40Variables aléatoires discrètesUnivers infini dénombrable ; l’espérance devient la somme d’une série, qui peut diverger ; les cinq lois usuelles, leur espérance et leur variance ; théorème de transfert ; fonctions génératrices, où la somme de variables indépendantes devient un produit ; Markov, Bienaymé-Tchebychev, et la loi faible des grands nombres en trois lignes.
- MATHS 41Équations différentielles linéairesExponentielle de matrice définie par une série qui converge toujours ; le piège de la non-commutation ; résolution de X’ = AX par diagonalisation, où réduire signifie découpler ; équations scalaires d’ordre 2 et les trois cas du discriminant ; variation de la constante ; stabilité décidée par le signe des parties réelles.
- MATHS 42Calcul différentiel et optimisationDérivées partielles, et le contre-exemple qui montre qu’elles n’entraînent pas la continuité ; gradient, direction de plus forte montée, orthogonal aux lignes de niveau ; règle de la chaîne ; théorème de Schwarz ; points critiques et hessienne, minimum, maximum ou COL ; descente de gradient, là où ce chapitre devient de l’apprentissage automatique.
Partie D — Deuxième année : informatique
La suite du tronc commun, et les options d’informatique.
- INFO 07Graphes et algorithmesListes contre matrice d’adjacence ; parcours en largeur et en profondeur, et ce que chacun calcule ; Dijkstra, sa preuve de correction, et pourquoi elle tombe sur un poids négatif ; Bellman-Ford ; arbres couvrants minimaux par Prim et Kruskal, avec la propriété de la coupe qui démontre l’optimalité du glouton.
- INFO 08Programmation dynamiqueSous-structure optimale et chevauchement, les deux conditions ; mémoïsation descendante et table ascendante ; sac à dos et son caractère pseudo-polynomial ; plus longue sous-suite commune ; distance d’édition, celle du correcteur orthographique ; rendu de monnaie, et un système où le glouton se trompe.
- INFO 09Automates et langages rationnelsAutomates déterministes et non déterministes ; déterminisation par construction des parties, et l’explosion en 2^n qui est atteinte ; expressions régulières et théorème de Kleene ; lemme de l’étoile et principe des tiroirs ; pourquoi a^n b^n échappe à tout automate fini.
- INFO 10Calculabilité et complexitéMachines de Turing, avec un simulateur qui tourne dans la page ; thèse de Church-Turing ; indécidabilité du problème de l’arrêt, démontrée par diagonale ; réductions ; classes P et NP, NP-complétude, théorème de Cook-Levin ; et la différence, souvent confondue, entre NP-complet et indécidable.